રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું સરેરાશ આયુષ્ય વ્યાખ્યાયિત કરો.

એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વનો વિભંજન દર કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે $16,000 \text{ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ}$ છે. $4 \text{ મિનિટ}$ પછી, તે $2000 \text{ વિભંજન પ્રતિ મિનિટ}$ થાય છે. તો પ્રતિ મિનિટ ક્ષય અચળાંક કેટલો હશે?

કોઈ આપેલ ક્ષણે,ધારો કે $t = 0$ પર,બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $A$ અને $B$ ની એક્ટિવિટી સમાન છે. સમય $t$ પછી તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર $\frac{R_B}{R_A}$ એ સમય $t$ સાથે $e^{-3t}$ મુજબ ઘટે છે. જો $A$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $\ln 2$ હોય,તો $B$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય કેટલો હશે?

એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T$ છે. $T / 2$ ના સમયગાળામાં નમૂનાના પ્રારંભિક દળનો કેટલો ભાગ ક્ષય પામશે?

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp(\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એ ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| \ll 1$ માટે,$\ln(1+x) \approx x$ એ $x$ ની પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

એક રેડિયોએક્ટિવ તત્વ દર સેકન્ડે $200$ કણોનું ઉત્સર્જન કરે છે. $3$ કલાક પછી,દર સેકન્ડે $25$ કણોનું ઉત્સર્જન થાય છે. આ તત્વનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય .......... $minutes$ હશે.